Düzgün Altıgende Eşkenar Üçgenlerin Çevre Oranı

Çözüm adımları

1. Adım 1: Düzgün altıgenin bir kenar uzunluğuna 4 birim diyelim. K, L ve M bulundukları kenarların orta noktaları olduğundan |AK| = |KB| = |FL| = |LE| = |CM| = |MD| = 2 birim olur.

   Bu adımı detaylandır

2. Adım 2: ABCDEF düzgün altıgeninde |AF| = 4 birim ve |BE| = 8 birimdir. K ve L orta noktalar olduğundan [KL] doğru parçası ABEF ikizkenar yamuğunun orta tabanıdır. Dolayısıyla |KL| = (4 + 8) / 2 = 6 birimdir. Altıgenin simetrisinden dolayı KLM üçgeni bir eşkenar üçgendir ve bir kenar uzunluğu 6 birimdir.

   Bu adımı detaylandır

3. Adım 3: Düzgün altıgenin merkezini O(0,0) noktası kabul ederek analitik düzleme yerleştirelim. Köşe koordinatları: B(-4, 0), E(4, 0), A(-2, 2√3), F(2, 2√3), C(-2, -2√3) ve D(2, -2√3) olur.

   Bu adımı detaylandır

4. Adım 4: Orta noktaların koordinatlarını bulalım: K(-3, √3), L(3, √3) ve M(0, -2√3).

   Bu adımı detaylandır

5. Adım 5: Sarı boyalı üçgenin bir köşesi [BL] ve [DK] doğrularının kesişim noktası olan P noktası, diğer köşesi ise [BL] ve [FM] doğrularının kesişim noktası olan Q noktası olsun. Simetriden dolayı sarı üçgen de eşkenardır.

   Bu adımı detaylandır

6. Adım 6: B(-4, 0) ve L(3, √3) noktalarından geçen BL doğrusunun denklemi: Eğim m₁ = (√3 - 0) / (3 - (-4)) = √3 / 7'dir. Denklem: y = (√3 / 7)(x + 4) olur.

   Bu adımı detaylandır

7. Adım 7: D(2, -2√3) ve K(-3, √3) noktalarından geçen DK doğrusunun denklemi: Eğim m₂ = (√3 - (-2√3)) / (-3 - 2) = -3√3 / 5'tir. Denklem: y - √3 = (-3√3 / 5)(x + 3) ⇒ y = (-3√3x - 4√3) / 5 olur.

   Bu adımı detaylandır

8. Adım 8: P noktasını bulmak için iki doğru denklemini birbirine eşitleyelim: (√3 / 7)(x + 4) = (-3√3x - 4√3) / 5 ⇒ 5(x + 4) = 7(-3x - 4) ⇒ 5x + 20 = -21x - 28 ⇒ 26x = -48 ⇒ x = -24/13 bulunur. y koordinatı ise y = (√3 / 7)(-24/13 + 4) = 4√3 / 13 olur. Yani P(-24/13, 4√3/13).

   Bu adımı detaylandır

9. Adım 9: Benzer şekilde F(2, 2√3) ve M(0, -2√3) noktalarından geçen FM doğrusunun denklemi y = 2√3x - 2√3'tür. BL doğrusu ile kesiştirirsek Q noktasını buluruz: (√3 / 7)(x + 4) = 2√3(x - 1) ⇒ x + 4 = 14x - 14 ⇒ 13x = 18 ⇒ x = 18/13 ve y = 22√3 / 13 olur. Yani Q(18/13, 22√3/13).

   Bu adımı detaylandır

10. Adım 10: Sarı eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu olan |PQ|'yu iki nokta arasındaki uzaklık formülüyle hesaplayalım: |PQ| = √[(18/13 - (-24/13))² + (22√3/13 - 4√3/13)²] = (1/13)√[42² + (18√3)²] = (1/13)√[1764 + 972] = (1/13)√2736 = 12√19 / 13 birim.

    Bu adımı detaylandır

11. Adım 11: İki eşkenar üçgenin çevreleri oranı, birer kenar uzunluklarının oranına eşittir: Çevre(KLM) / Çevre(Sarı Üçgen) = |KL| / |PQ| = 6 / (12√19 / 13) = 78 / (12√19) = 13 / (2√19) = 13√19 / 38. Cevap: 13√19 / 38

    Bu adımı detaylandır