Düzgün Altıgen Alanı ve İç Bölge Üçgen İlişkisi

Çözüm adımları

1. Düzgün altıgenin içindeki herhangi bir K noktası için, karşılıklı kenarları taban kabul eden üçgenlerin alanları toplamı, altıgenin toplam alanının yarısına eşittir. K noktası ile köşeler birleştirildiğinde oluşan karşılıklı üçgen çiftlerinin alanları toplamı sabittir. Kural: Alan(KAB) + Alan(KDE) = Alan(KBC) + Alan(KFE) = Alan(KCD) + Alan(KAF) = Tüm Alan / 3. Ancak daha genel bir kural olarak, düzgün altıgende karşılıklı kenarlar üzerindeki üçgenlerin alanları toplamı (S1+S3+S5 = S2+S4+S6) kuralı geçerlidir. Burada verilen komşu üçgenlerin alanları üzerinden gidersek: Altıgenin merkezinden köşelere çizilen her bir eşkenar üçgenin alanı S olsun. Toplam alan 6S'dir. Bir iç nokta K için; Alan(KFE) + Alan(KBC) = 2S, Alan(KAF) + Alan(KCD) = 2S, Alan(KAB) + Alan(KDE) = 2S bağıntısı mevcuttur. Soruda verilen Alan(FKA) = 13 ve Alan(KEF) = 14 ve Alan(AKB) = 8 değerlerini kullanarak karşılıklı kenar mantığına bakalım. Düzgün altıgende, ardışık üç kenar üzerinde oluşan üçgenlerin alanları toplamı olan Alan(KFE) + Alan(KAB) - Alan(KAF) işlemi bize düzgün altıgenin bir parçasını verir. Daha pratik bir özellik: Alan(KAF) + Alan(KCD) = 1/3 * Tüm Alan'dır. Ancak verilerde KCD yok. Verilen 3 üçgenin alanları 14, 13 ve 8'dir. Bu tip sorularda düzgün altıgenin alanı: 2 * (Alan(KEF) + Alan(KAB) + Alan(KCD)) veya benzeri bir simetri ile bulunur. Özel bir kural olarak: Alan(KFE) + Alan(KAB) + Alan(KCD) = Alan(KBC) + Alan(KDE) + Alan(KAF) = Toplam Alan / 2. Şekildeki ardışık olmayan üçgenlerin toplamı üzerinden gidelim: Alan(KEF) + Alan(KAB) + Alan(KCD) = 14 + 8 + Alan(KCD) = Yarım Alan. Simetri ve yükseklikler toplandığında, ardışık üç üçgenin alanları arasındaki ilişki şöyledir: Alan(KAF) + Alan(KBC) + Alan(KDE) = Yarım Alan. Ancak elimizdeki verilerle (14, 13, 8) şu bağıntı kurulur: Toplam Alan = 2 * (Alan(KEF) + Alan(KAB) + Alan(KCD)). Verilen 14, 13 ve 8 değerleri komşu üçgenlerdir. Düzgün altıgende komşu iki üçgenin toplamından aradaki çıkarıldığında (14 + 8 + 13) değil, simetri gereği 14 + 8 + 11 gibi bir değerle 33 (yarısı) bulunur. Asıl kural: Komşu üçgenler verildiğinde, Alan(KAF) + Alan(KCD) = Alan(KBC) + Alan(KFE) = Alan(KAB) + Alan(KDE) = Tüm Alan / 3. Buradan; 13 + Alan(KCD) = Alan(KBC) + 14 = 8 + Alan(KDE) = Tüm Alan / 3. Bu denklemlerden Alan(KBC) = Alan(KCD) - 1 çıkar. Toplam alanı bulmak için verilen üçgenlerin toplamı üzerinden simetri kullanıldığında: 2 * (14 + 13 + 3) = 60 veya doğrudan (14 + 13 + 8) gibi toplamlar üzerinden gidilir. Bu soruda özel durum: (14 + 13 + 8) / 3 * 6 yapısı incelendiğinde; 14 + 8 + (bu üçgenlerin yükseklik toplamı h1+h2=H olduğu için) orta alan olan 13'ün katkısıyla Tüm Alan = 2 * (14 + 13 + 3) şeklinde değil, 14 + 13 + 8 = 35 değil, 14 + 13 + 6 gibi bir yapı ile 33 bulunur. En temel çözüm: Alan(KAF) + Alan(KCD) = S_toplam / 3 ise, 13 + Alan(KCD) = S_toplam / 3. Diğer yandan Alan(KFE) + Alan(KBC) = S_toplam / 3 => 14 + Alan(KBC) = S_toplam / 3. Alan(KAB) + Alan(KDE) = S_toplam / 3 => 8 + Alan(KDE) = S_toplam / 3. Bu üçgenlerin alanları toplamı (14+13+8 + Alan(KBC)+Alan(KCD)+Alan(KDE)) = S_toplam. 3 * (S_toplam / 3) = S_toplam. Buradan direkt bir sayı çıkmaz. Ancak düzgün altıgenin özelliğinden, bu üç alanın toplamı (14+8+x) ortadaki 13 ile ilişkilidir. h_f + h_b = sabit yükseklik. Alanlar toplamı 14+8+8=30 civarı bir değerin 2 katıdır. Doğru mantık: Alan(KFE) + Alan(KAB) = 14 + 8 = 22. Bu iki üçgenin yükseklikleri toplamı altıgenin kısa köşegenine (veya paralel kenarlar arası mesafeye) eşittir. Bu toplam alanın 1/3'üne karşılık gelir. 22 = S_toplam / 3. S_toplam = 22 * 3 = 66. Cevap: 66

   Bu adımı detaylandır