Üçgende Ağırlık Merkezi ve Orta Taban ile Uzunluk Hesabı
Ferhat tarafından soruldu · · ≈3 dk okuma
- Görüntülenme
- 2
- Çözüm adımı
- 18
- Ek açıklama
- 2
- Faydalı bulan
- %0
Paylaş & kaydet
Kaydet?Soru
ABC bir üçgen, [AE] ∩ [BF] = {K}, [AE] ⊥ [BF], |CD| = 2|EB| = 2|ED|, |AF| = |FD|, |FK| = 3 br ve |EK| = 4 br'dir. Buna göre |AC| kaç birimdir?
Çözmeden önce hatırla
- Üçgende açılar: İç açılar toplamı 180°, bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
- Pisagor teoremi: Dik üçgende a² + b² = c² (c hipotenüs).
- Benzerlik: Açıları eşit üçgenlerde kenarlar orantılı; alanlar oranı benzerlik oranının karesidir.
- İkizkenar ve eşkenar üçgen: Eşit kenarların karşısındaki açılar eşittir; eşkenar üçgende tüm açılar 60°'dir.
Adım adım çözüm
Çözüm
Çözüm adımları
1. ABD üçgenini inceleyelim: E noktası [BD] kenarının orta noktası (|EB| = |ED|) ve F noktası [AD] kenarının orta noktasıdır (|AF| = |FD|).
2. Bu durumda [AE] ve [BF] doğru parçaları ABD üçgeninin kenarortaylarıdır ve kesişim noktaları olan K noktası ABD üçgeninin ağırlık merkezidir.
3. Ağırlık merkezi kenarortayı tabana 1, köşeye 2 oranında böler. |FK| = 3 br olduğundan |BK| = 2·|FK| = 6 br olur. Böylece |BF| = 3 + 6 = 9 br bulunur.
4. Şekilde [AE] ⊥ [BF] verildiğinden BKE bir dik üçgendir. Dik kenarları |BK| = 6 br ve |EK| = 4 br'dir.
5. Şimdi BFC üçgenine bakalım: |EB| = |ED| = k dersek, soruda verilen |CD| = 2|EB| eşitliğinden |CD| = 2k olur.
6. Buradan |BD| = |EB| + |ED| = 2k olduğu görülür. Yani |BD| = |CD| = 2k olup D noktası [BC] kenarının orta noktasıdır.
7. ADC üçgeninde D noktası [BC]'nin orta noktası ve F noktası [AD]'nin orta noktası (|AF| = |FD|) olduğundan, [FD] veya doğru boyunca uzanan parçalar yerine BFC ve ADC üçgenlerinde orta taban özelliğini kullanabiliriz.
8. B, E, D, C doğrusal ve |BD| = |DC|, ayrıca |AF| = |FD| olduğundan, [BF] doğru parçası ile [AC] arasında doğrudan orta taban kurmak için D noktasından [BF]'ye paralel çizelim ya da F'den [BC]'ye paralel çekelim. Daha kolayı: D noktası [BC]'nin, F noktası [AD]'nin orta noktasıdır. Ancak [BF] orta taban değildir.
9. Doğru orta taban ilişkisi: ABD üçgeninde K ağırlık merkezi olduğundan |AK| = 2·|EK| = 2·4 = 8 br'dir. Buradan |AE| = 8 + 4 = 12 br bulunur.
10. AKF dik üçgeninde Pisagor teoreminden: |AF|² = |AK|² + |FK|² = 8² + 3² = 64 + 9 = 73 ⇒ |AF| = √73 br (bu yola gerek kalmayabilir, kontrol edelim).
11. E noktası [BD]'nin orta noktası, D noktası [BC]'nin orta noktası değildir, tekrar bakalım: |EB| = k, |ED| = k, |CD| = 2k. O halde |BC| = 4k. D noktası [BC]'nin orta noktasıdır (|BD|=2k, |DC|=2k).
12. F noktası [AD]'nin orta noktası, E noktası [BD]'nin orta noktası olduğundan [FE] doğru parçası ABD üçgeninin orta tabanıdır ve [AB]'ye paraleldir. (Bu bilgiye gerek yok).
13. Asıl orta taban: D noktasından [AE]'ye bir paralel çizersek veya E noktasından [BF]'ye paralel çizersek... Bunun yerine koordinat/vektör veya Menelaus/orta taban kullanalım: K noktasını orijin (0,0) alalım. K(0,0), F(3,0), B(-6,0), E(0,-4), A(0,8).
14. E, [BD]'nin orta noktası olduğundan: D = 2E - B = 2(0,-4) - (-6,0) = (6, -8). (Kontrol: F = (A+D)/2 = (0+6, 8-8)/2 = (3,0), doğru!).
15. D noktası [BC]'nin orta noktası olduğundan (|BD| = 2k, |CD| = 2k): C = 2D - B = 2(6,-8) - (-6,0) = (12, -16) - (-6,0) = (18, -16).
16. Geometrik olarak görme: BFC üçgeninde D noktası [BC]'nin orta noktasıdır. E ise [BD]'nin orta noktasıdır. A(0,8) ve C(18,-16) arasındaki uzaklık: |AC| = √((18 - 0)² + (-16 - 8)²) = √(18² + (-24)²).
17. 18-24-30 özel dik üçgeninden (3-4-5 üçgeninin 6 katı): |AC| = 30 br bulunur.
18. Klasik geometrik açıklama: D'den [BF]'ye paralel çizip [AC]'yi kesen orta tabanlar oluşturulduğunda veya [AE] doğrultusu uzatılıp C'den dik indirildiğinde (C'den AE doğrusuna indirilen dikme ayağı H olsun; B'den AE'ye inen dikme K'dir ve |BK|=6'dır. |EC| = 3·|BE| olduğundan kelebek benzerliğinden C'den inen dikme |CH| = 3·|BK| = 18 br ve |EH| = 3·|EK| = 12 br olur. Buradan |AH| = |AE| + |EH| = 12 + 12 = 24 br. AHC dik üçgeninde 18-24-30 üçgeninden |AC| = 30 br bulunur). Cevap: 30
Bu çözümü puanla
Henüz oy yok, ilk puanı sen ver.
Giriş yap ve çözümü puanla.
Pekiştir
Benzer sorular
Soru havuzundan bu soruya en yakın olanlar. Önce kendin çöz, sonra çözüme bak.
Benzer alanOrtaÜçgende Benzerlik ve Orantılı ParçalarABC bir üçgen, [BE] ∩ [BH] = {B} [AB] // [FG] |LG| = 1 cm |AF| = |FE| = |EH| = |HC| olduğuna göre, |FK| - |KL| kaç cm'dir? A) 4 B) 3 C)Bu soruyu dene
Benzer alanOrtaEşkenar Üçgen ve Üçgende Benzerlik Sorusu ÇözümüABC eşkenar üçgen, [AH] ⊥ [BC], m(ACE) = 60°, |AD| = |BD|, |AH| = 40 cm, |DE| = 50 cm. Yukarıdaki verilere göre, |CE| = x kaç cm dir?Bu soruyu dene
Benzer alanOrtaDörtgende Açı ve Kenar Bağıntıları ÇözümüABCD bir dörtgen, [DA] ⊥ [AB], m(ABC) = m(DCB) = 60°, |AD| / |BC| = √3 / 5. Yukarıdaki verilere göre, |AB| / |DC| oranı kaçtır?Bu soruyu dene
Benzer alanOrtaEşkenar Üçgen Kenar Uzatma Alan ProblemiEla, defterine çevresi 18 birim olan ABC eşkenar üçgenini çizdikten sonra kenarları aşağıdaki gibi 1, 2 ve 3 birim uzatıyor. Buna göre kenarBu soruyu dene
Benzer alanOrtaGeometri Dik Üçgen ve Eş Gönyeler Soru ÇözümüBir kenar uzunluğu 24 birim olan dik üçgen biçimindeki iki adet eş gönye birer kenarları çakışacak şekilde üçgen biçimindeki bir kartonun üzBu soruyu dene
Benzer alanOrtaÜçgende Alan ve Oran Problemi ÇözümüABC üçgeninde kırmızı doğru parçaları eşit uzunluktadır. Yeşil yüksekliklerin uzunlukları 1 ve 7 birimdir. |BD| = 2·|AD| olduğuna göre x/y oBu soruyu dene
Bu tip sorularda dikkat et
- 1Verilenleri şekil üzerine işaretle; eşit kenarlar çoğu zaman eşit açıları ele verir.
- 2Dik açı görürsen Pisagor ve özel üçgenleri (3-4-5, 30-60-90, 45-45-90) düşün.
- 3Gerekirse yükseklik veya paralel bir doğru çizerek yeni üçgenler oluştur.
Anlamadığın yer mi var?
2 ek açıklama- 1
Ferhat · Telegram ·
|AC| kaç birim
Açıklamayı metin olarak oku
Merhaba! Hiç merak etme, bu soru ilk bakışta biraz karışık görünebilir ama adım adım gidince ne kadar kolay olduğunu göreceksin. Gel birlikte en pratik yoldan çözelim: 1. Adım: Ağırlık Merkezini Bulalım Önce sadece ABD üçgenine odaklanalım. Soruda |EB| = |ED| ve |AF| = |FD| verilmiş. Yani AE ve BF doğru parçaları kenarların tam ortasına gitmiş; demek ki bunlar kenarortay. Kenarortayların kesiştiği K noktası, ABD üçgeninin ağırlık merkezidir. Ağırlık merkezinin kuralı neydi? Köşeye olan uzaklık, tabana olan uzaklığın 2 katıdır. - |FK| = 3 birim ise, köşeye giden kısım |BK| = 6 birim olur. - |EK| = 4 birim ise, köşeye giden kısım |AK| = 8 birim olur. (Böylece |AE| uzunluğu toplam 8 + 4 = 12 birim oldu, bu cepte dursun). 2. Adım: Alt Kenardaki Oranları Yazalım Soruda |CD| = 2|EB| = 2|ED| denmiş. |EB| ve |ED| uzunluklarına 1 kat (k) dersek, |CD| uzunluğu 2 kat (2k) olur. Bu durumda E noktasının solunda 1k (|EB|), sağında ise toplam 3k (|ED| + |CD|) uzunluk var. Yani |EC| uzunluğu, |EB|'nin tam 3 katıdır. 3. Adım: Kelebek Benzerliği Yapalım Şimdi AE doğrusunu aşağıya doğru düz bir şekilde uzatalım ve C noktasından bu uzantıya bir dikme indirelim. Dikmenin değdiği bu yeni noktaya H diyelim. Elimizde birbirine bakan iki dik üçgen oluştu (BKE üçgeni ve CHE üçgeni). Bu iki üçgen kelebek benzerliği oluşturur. Az önce |EC|'nin, |EB|'nin 3 katı olduğunu bulmuştuk. O zaman CHE üçgeninin kenarları, BKE üçgeninin kenarlarının 3 katı olmalıdır: - |BK| = 6 birim idi, 3 katından |CH| = 18 birim olur. - |EK| = 4 birim idi, 3 katından |EH| = 12 birim olur. 4. Adım: Büyük Dik Üçgende Pisagor (Son Vuruş) Şimdi en büyük AHC dik üçgenine bakalım. - Yatay dik kenarımız |CH| = 18 birim. - Dikey dik kenarımız |AH| ise, |AE| (12 birim) ile |EH|'nin (12 birim) toplamıdır. Yani |AH| = 12 + 12 = 24 birim. Elimizde dik kenarları 18 ve 24 olan bir AHC dik üçgeni var ve bizden hipotenüsü yani |AC|'yi istiyor. Hatırlarsan ünlü 3-4-5 özel dik üçgenimiz vardı. 18 sayısı 3'ün 6 katı, 24 sayısı da 4'ün 6 katıdır. O halde hipotenüs olan |AC| de 5'in 6 katı olmalıdır: 5 x 6 = 30 birim. Yani cevabımız 30'dur. Anlamadığın bir adım olursa hemen sorabilirsin, iyi çalışmalar!
- 2
Ferhat · Telegram ·
Cevap ne
Açıklamayı metin olarak oku
Cevap **30** birimdir.
Anlamadığın adımı sormak için giriş yap. Yanıtlar resimli olarak gelir.
Yorumlar
Yorum yazmak için giriş yap.
Yorumlar yükleniyor…
Çalışmaya devam et
Diğer çözümlü sorular
Orta- OrtaÜçgende AlanÜçgende Alan ve Oran Problemi Çözümü0Çözüme git
- ∑KolayDik Üçgen ve Pisagor TeoremiDik Üçgende Hipotenüs (|AC|) Uzunluğunu Bulma0%0Çözüme git
- ∑KolayGenel MatematikEksik Soru Metni - Lütfen Soruyu Tamamlayın4Çözüme git
OrtaParalelkenarParalelkenarda Benzerlik ve Alan Hesaplama3Çözüme git
OrtaÜçgende KenarortayÜçgende Kenarortay, Ağırlık Merkezi ve Orta Taban Sorusu0Çözüme git